Question

6．過(guò)點(diǎn)M（2，-2p）引拋物線x²=2py（p＞0）的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若$|{AB}|=4\sqrt{10}$，則p的值是（　�。�

• A． 1或2
• B． $\sqrt{2}$或2
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出直線MA，MB的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，∴y′=$\frac{x}{p}$，
因此直線MA的方程為y+2p=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-2），整理可得x₁²-4x₁-4p²=0，
同理，直線MB的方程為x₂²-4x₂-4p²=0，
所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的兩根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，
又k_AB=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2p}$=$\frac{2}{p}$．
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{4}{{p}^{2}}}•\sqrt{16+16{p}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
所以p=1或p=2，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生分析推理能力，屬于中檔題．