Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}+kn$，其中k為常數(shù)，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+3）}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：${T_n}＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求得a_n=S_n-S_n-1=2n+k-1（n≥2），再求得首項(xiàng)，驗(yàn)證首項(xiàng)成立可得數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列求得k，則通項(xiàng)公式可求；
（2）把（1）中求得的通項(xiàng)公式代入${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+3）}}$，整理后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，放縮可得${T_n}＜\frac{5}{12}$．

解答 （1）解：由${S_n}={n^2}+kn$，有
a_n=S_n-S_n-1=2n+k-1（n≥2），
又a₁=S₁=k+1，
∴a_n=2n+k-1．
∵a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，∴${{a}_{4}}^{2}={a}_{1}{a}_{13}$，
即（2×4+k-1）²=（2×1+k-1）（2×13+k-1），解得k=2．
∴a_n=2n-1；
（2）證明：∵${b_n}=\frac{4}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+3）}}$=$\frac{4}{（2n+2）（2n+6）}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}$．
∴$_{n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+…+$$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{5}{12}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}）$$＜\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬中檔題．