【題目】已知函數(shù);
(Ⅰ)若m=1,求證: 在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)若,試討論g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)見解析(2) 當(dāng)m<1時(shí),g(x)沒有零點(diǎn);m=1時(shí),g(x)有一個(gè)零點(diǎn);m>1時(shí),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
【解析】試題分析:(Ⅰ) m=1時(shí), ,要證在上單調(diào)遞增,只要證: 對x>0恒成立,令,通過求導(dǎo)可證得,令,通過求導(dǎo)可證得,所以即得證;
(Ⅱ) 由有,顯然是增函數(shù),令,得即∴g(x)在(0,x0]上是減函數(shù),在[x0,+∞)上是増函數(shù),∴g(x)有極小值,g(x0) =,分情況討論
①當(dāng)m=1時(shí)②m<1時(shí)③當(dāng)m>1時(shí)三種情況通過求導(dǎo)研究單調(diào)性,最值即可得解.
試題解析:
(Ⅰ)m=1時(shí), ,
要證在上單調(diào)遞增,只要證: 對x>0恒成立,
令,則,當(dāng)時(shí), ,
當(dāng)x<1時(shí), ,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
所以,即 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立),
令,則,
當(dāng)0<x<1時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,故j(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,即 (當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)取等號),
(當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)等號成立)
在上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)由有,顯然是增函數(shù),
令,得,
則時(shí), 時(shí), ,
∴g(x)在(0,x0]上是減函數(shù),在[x0,+∞)上是増函數(shù),
∴g(x)有極小值,g(x0) =
①當(dāng)m=1時(shí), ,g(x)極小值=g(1) =0,g(x)有一個(gè)零點(diǎn)1;
②m<1時(shí),0<x0<1, ,g(x)沒有零點(diǎn);
③當(dāng)m>1時(shí),x0>1,g(x0)<1-0-1=0,又
又對于函數(shù)時(shí),
∴當(dāng)x>0時(shí),y>1-0-1 = 0,即,
∴g(3m) = ,
令,則,
∵m>1, ∴,∴t(m)>t(1)==2-ln3>0,∴g(3m)>0,
又∴有兩個(gè)零點(diǎn),
綜上,當(dāng)m<1時(shí),g(x)沒有零點(diǎn);m=1時(shí),g(x)有一個(gè)零點(diǎn);m>1時(shí),g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某林業(yè)部門為了保證植樹造林的樹苗質(zhì)量,對甲、乙兩家供應(yīng)的樹苗進(jìn)行根部直徑檢測,現(xiàn)從兩家供應(yīng)的樹苗中各隨機(jī)抽取10株樹苗檢測,測得根部直徑如下(單位:mm):
甲 | 27 | 11 | 21 | 10 | 19 | 09 | 22 | 13 | 15 | 23 |
乙 | 15 | 20 | 27 | 17 | 21 | 14 | 16 | 18 | 24 | 18 |
(1)畫出甲、乙兩家抽取的10株樹苗根部直徑的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對甲、乙兩家樹苗進(jìn)行比較,寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論;
(2)設(shè)抽測的10株乙家樹苗根部直徑的平均值為,將這10株樹苗直徑依次輸入程序框圖中,求輸出的S的值,并說明其統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B是正方形,AC丄側(cè)面AA1B1B,AC=AB,點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:C1A∥平面EBA1;
(Ⅱ)若EF丄BC1,垂足為F,求二面角B—AF—A1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計(jì) | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高一學(xué)生有360人,試估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,請列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在各棱長均為的三棱柱中,側(cè)面底面, .
(1)求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小;
(2)已知點(diǎn)滿足,在直線上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,請確定點(diǎn)的位置,若不存在,請說明理由.
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