Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，，

（1）求在處的切線的一般式方程；

（2）請判斷與的圖像有幾個(gè)交點(diǎn)?

（3）設(shè)為函數(shù)的極值點(diǎn)，為與的圖像一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）與的圖像有2交點(diǎn)（3）證明見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)求得切線方程.

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，由此判斷與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

（3）結(jié)合（2）以及題意得到，化簡得到，利用放縮法以及取對數(shù)運(yùn)算，化簡證得成立.

（1）由得切線的斜率為，切點(diǎn)為.

∴切線方程為：，

∴所求切線的一般式方程為.

（2）令由題意可知，的定義域?yàn)?/span>，

且.

令，得，由，得，可知在

內(nèi)單調(diào)遞減，

又，且，

故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，

則，當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，

因此是的唯一極值點(diǎn).

令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，，即，

從而，

又因?yàn)?/span>，∴在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

所以與的圖像有2交點(diǎn)；

（3）由（2）及題意，即

從而，即,

∵當(dāng)時(shí)，，又，故,

兩邊取對數(shù)，得，

于是，整理得，命題得證.