設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=ab，證明：
a
b2+4
+
b
a2+4
≥
1
2
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：不等式
分析：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以
a
b2+4
+
b
a2+4
≥2
ab
(b2+4)(a2+4)
，并且可將2
ab
(b2+4)(a2+4)
變成2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
，由a+b=ab能得到ab≥4，4ab≥16，又ab+
16
ab
≥8，所以得到2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
≤
1
2
，即2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
的最大值為
1
2
，所以便得到要證的結(jié)論．
解答： 證：由已知條件得：
a
b2+4
+
b
a2+4
≥2
ab
(b2+4)(a2+4)
=2
ab
a2b2+4(a2+b2)+16
=2
ab
a2b2+4[(a+b)2-2ab]+16
=2
ab
a2b2+16+4a2b2-8ab
=2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
；
∵a，b＞0，∴ab=a+b≥2
ab
，即ab≥2
ab
，∴ab≥4，4ab≥16，當(dāng)a=b時(shí)取“=“；
又ab+
16
ab
≥2
16
=8，當(dāng)ab=4時(shí)取“=“；
∴ab+
16
ab
+4ab-8≥16，0＜
1
ab+
16
ab
+4ab-8
≤
1
16
，
∴2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
≤
1
2
，即2
1
ab+
16
ab
+4ab-8
的最大值為
1
2
；
∴
a
b2+4
+
b
a2+4
≥
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：考查基本不等式：a+b≥2
ab
，a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=“，并且證明本題時(shí)注意“=“成立的條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知tanα=
1
2
，求
2cosα-3sinα
3cosα+4sinα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知f（x）=
lnx
x
，g（x）=（x-e）2+
1
e
，x＞0，求f（x）的最大值；比較f（x）與g（x）的大小并說(shuō)明理由．
（2）已知函數(shù)f（x）=tanx-x，0＜x＜
π
2
，證明：當(dāng)0＜x＜
π
2
時(shí)，tanx＞x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合U={不大于10的自然數(shù)}，A、B是U的兩個(gè)子集，已知A∩B={5，7}，∁UA∩∁UB={0，2，4，9}，∁UA∩B={1，8}，用韋恩圖求集合A、B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)f（x）=x2+2xcosθ+1，x∈[-
3
2
，
1
2
]．
（1）當(dāng)θ=
π
3
時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-
3
2
，
1
2
]上是單調(diào)遞增函數(shù)，θ∈R，求θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
ka2
=1（a＞0，0＜k＜1）與x軸正半軸交點(diǎn)為A，若橢圓上存在一點(diǎn)M，使AM⊥OM，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)a，b均為正數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．
（Ⅱ）已知a，b，c∈R+求證：
a2+b2+c2
3
≥
a+b+c
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

哈爾濱市五一期間決定在省婦女兒中心舉行中學(xué)生“藍(lán)天綠樹、愛護(hù)環(huán)境”圍棋比賽，規(guī)定如下：兩名選手比賽時(shí)每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多3分或打滿7局時(shí)停止．設(shè)某學(xué)校選手甲和選手乙比賽時(shí)，甲在每局中獲勝的概率為p（p＞
1
2
），且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第三局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為
1
3
．
（1）求p的值；
（2）求甲贏得比賽的概率；
（3）設(shè)X表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)訄AM在y軸右側(cè)與圓F：（x-1）2+y2=1外切，又與y軸相切．
（1）求圓心M的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)P在軌跡C上，過(guò)點(diǎn)F作直線l與PF垂直，記l與直線x=-1的交點(diǎn)為R，試探究直線PR與軌跡C是否存在唯一交點(diǎn)，并說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案