Question

6．過橢圓$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$的上焦點(diǎn)F₂作一條斜率為-2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求解即可．

解答 解：過橢圓$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$的上焦點(diǎn)F₂（$\sqrt{3}，0$）作一條斜率為-2的直線：y=-2x+$\sqrt{3}$，
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=-2x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，消去y可得8x²-4$\sqrt{3}x$-1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，x₁+x₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁x₂$-\frac{1}{8}$，
|AB|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\frac{\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+32}}{8}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．