Question

某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建造市民健身廣場，設(shè)計時決定保留空地邊上的一個水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，經(jīng)測量得到AE=10m，EF=20m．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準(zhǔn)備加設(shè)一個保護(hù)欄．設(shè)計時經(jīng)過點G作一條直線交AB，DF于M，N，從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場．
（Ⅰ）假設(shè)DN=x（m），試將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)，并注明函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）問：應(yīng)如何設(shè)計，可使市民健身廣場的面積最大？并求出健身廣場的最大面積．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足為H，過M作MT∥BC交CD于T，則有S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，可解得y=2400-

5(60-x)2

40-x

，從而可得五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù)；
（2）將函數(shù)變形，利用基本不等式，可求市民健身廣場的面積最大值．

解答： 解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足為H，
因為DN=x，所以NH=40-x，NA=60-x，
因為

NH

HG

=

NA

AM

，
所以

40-x

10

=

60-x

AM

，所以AM=

600-10x

40-x

，
過M作MT∥BC交CD于T，則

S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，
所以y=(40-

600-10x

40-x

)×60+

1

2

×

(x+60)(600-10x)

40-x

=2400-

5(60-x)2

40-x

，
由于N與F重合時，AM=AF=30適合條件，故x∈（0，30]，
（Ⅱ）y=2400-

5(60-x)2

40-x

=2400-5[(40-x)+

400

40-x

+40]，
所以當(dāng)且僅當(dāng)40-x=

400

40-x

，即x=20∈（0，30]時，y取得最大值2000，
答：當(dāng)DN=20m時，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為2000m²．

點評：本題主要考察了解三角形的實際應(yīng)用，不等式的解法及應(yīng)用，屬于中檔題．基本不等式應(yīng)注意其使用條件：一正二定三相等．