【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，，E是上一點(diǎn)，且，設(shè).

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由已知可得，，由直線與平面垂直的判定可得平面，得到，再由，進(jìn)一步得到平面；

（2）由（1）知，平面，，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)四邊形的邊長為4，，由列式求解a，可得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）證明：∵四邊形是菱形，∴O是的中點(diǎn)，，

∵，，∴平面，

∵平面，∴.

∵，O是的中點(diǎn)，∴.

∵平面，平面，，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，.

∴以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四邊形的邊長為4，.

∵四邊形是菱形，，∴與都是等邊三角形.

∴.

∴，，，，

，，.

∵，∴，

即，得.

∴，.

設(shè)平面的法向量為，

由，取，得；

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，取，得.

設(shè)二面角的平面角為，由圖可得，為鈍角，

則.

∴二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假定某射手每次射擊命中的概率為，且只有3發(fā)子彈．該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完．設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求：

（1）目標(biāo)被擊中的概率；

（2）X的概率分布列；

（3）均值，方差V（X）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明，下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí)，圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色其面積稱為朱實(shí)，黃實(shí)，利朱用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡得勾2+股2=弦2，設(shè)勾股中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )

A.886B.500C.300D.134

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，是橢圓T.上的兩點(diǎn)，且A點(diǎn)位于第一象限.過A做x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)D滿足，延長交T于點(diǎn).

（1）設(shè)直線，的斜率分別為，.

（i）求證：；

（ii）證明：是直角三角形；

（2）求的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《周髀算經(jīng)》是我國古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長損益相同（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，這九個(gè)節(jié)氣的所有晷長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)氣晷長之和為10.5尺，則立秋的晷長為（ ）

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）寫出的值；試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；
（2）從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用表示其中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）在第（1）問的條件下判斷當(dāng)時(shí)，曲線是否位于軸下方，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面底面，，，，，，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)引進(jìn)現(xiàn)代化管理體制，生產(chǎn)效益明顯提高，2019年全年總收入與2018年全年總收入相比增長了一倍，同時(shí)該企業(yè)的各項(xiàng)運(yùn)營成本也隨著收入的變化發(fā)生相應(yīng)變化，下圖給出了該企業(yè)這兩年不同運(yùn)營成本占全年總收入的比例，下列說法錯誤的是（ ）

A.該企業(yè)2019年研發(fā)的費(fèi)用與原材料的費(fèi)用超過當(dāng)年總收入的50%

B.該企業(yè)2019年設(shè)備支出金額及原材料的費(fèi)用均與2018相當(dāng)

C.該企業(yè)2019年工資支出總額比2018年多一倍

D.該企業(yè)2018年與2019研發(fā)的總費(fèi)用占這兩年總收入的20%

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案