Question

已知函數(shù)f（x）=msinx+cosx
（I）若m=2，f（α）=，求 cosα；
（II）若f（x）最小值為-，求f（x）在[-π，]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）由條件可得 2sinα+cosα=．再由 cos²α+sin²α=1，求得cosα 的值．
（II）若f（x）=msinx+cosx的 最小值為-=-，求得m的值，可得 f（x）=sin（x+）．再由 x∈[-π，]，利用正弦函數(shù)的定義域
和值域求得函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：（I）若m=2，f（α）=，則由函數(shù)f（x）=msinx+cosx，可得 2sinα+cosα=．
再由 cos²α+sin²α=1，求得cosα=-，或cosα=1．
（II）若f（x）=msinx+cosx的 最小值為-=-，∴m=1，或 m=-3（舍去）．
∴f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+）．
∵x∈[-π，]，可得 x+∈[-，]．
又sin（）=sin（+）=sincos+cossin=，
故sin（x+）∈[-1，]，故函數(shù)f（x）的值域為[-，]．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．