Question

16．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的中點(diǎn)，四棱錐D-ABCM的體積為V，求三棱錐E-ADM的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得BM⊥AM，再由平面ADM⊥平面ABCM，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得BM⊥平面ADM，從而得到AD⊥BM；
（2）直接利用等體積法求得三棱錐E-ADM的體積．

解答 （1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點(diǎn)，
∴AM=BM，則BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面ADM，∵AD?平面ADM，
∴AD⊥BM；
（2）解：當(dāng)E為DB的中點(diǎn)時(shí)，
∵${S}_{△MBC}=\frac{1}{2}{S}_{△MAB}$，
∴${V}_{E-ADM}=\frac{1}{2}{V}_{B-ADM}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-ABM}$=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{V}_{D-ABCM}=\frac{1}{3}{V}_{D-ABCM}$=$\frac{1}{3}V$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．