Question

設(shè)A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，C，D分別為橢圓上、下頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且四邊形ACBD 的面積為4

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求證：直線QA與直線QB的斜率之積為定值；
（3）設(shè)P為直線x=

a2

c

 ．(a2=b2+c2)上不同于點(diǎn)（

a2

c

，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

分析：（1）依題意尋找a，b，c，從而可求橢圓的方程；（2）先求直線QA與直線QB的斜率，利用橢圓的方程可得證；（3）要證點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)，只需證∠MBN為鈍角，從而∠MBP為銳角，故即證

BM

•

BP

＞ 0．

解答：解：（1）依題意得，a=2c，2ab=4

3

，a2=b2+c2，∴a=2，c=1，b=

3

，∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)Q（x，y），∵A（-2，0），B（2，0），∴KQA=

y

x+2

，KQB=

y

x-2

∴KQA•KQB=

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，故得證．
（3）由（1）得 A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（x₀，y₀）
∵M(jìn)在橢圓上，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A，B，∴-2＜x₀＜2，由P，A，M三點(diǎn)共線可以得P(4，

6y0

x0+2

)，∴

BM

=(x0-2，y0)，

BP

=(2，

6y0

x0+2

)

BM

•

BP

=

2

x0+2

(

x

2 0

 -4+3

y

2 0

)，從而有

BM

•

BP

=

5

2

(2-x0)
∵-2＜x₀＜2，∴

BM

•

BP

＞ 0∴∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查橢圓方程的運(yùn)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．