Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x+3

3x

，作數(shù)列{bn}：b1=1，bn=f(

1

bn-1

)(n≥2)，
求和：Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1．

Answer 1

分析：由bn=

2

3

+bn-1，知bn=

2n+1

3

，故bnbn+1=

1

9

(4n2+8n+3)，再由n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況進行分類討論，求和：Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1．

解答：解：∵f（x）=

2x+3

3x

=

2

3

+

1

x

，bn=f(

1

bn-1

)，n≥2，
∴bn=

2

3

+bn-1，
∵b₁=1，∴{b_n}是首項為1，公差為

2

3

的等差數(shù)列，
∴bn=

2n+1

3

，
∴bnbn+1=

1

9

(4n2+8n+3)，
①當(dāng)n為偶數(shù)時：
∵b2=

5

3

，bn=

2n+1

3

，
∴W_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-2×

2

3

（b₂+b₄+…+b_n）
=-

4

3

×[

n

4

(

5

3

+

2n+1

3

)]
=-

1

9

(2n2+6n)；
②當(dāng)n為奇數(shù)時：
∵b2=

5

3

，bn-1=

2n-1

3

，
∴W_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_n-2b_n-1-b_n-1b_n+b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n-1（b_n-2-b_n）+b_nb_n+1
=-2×

2

3

(b2+b4+…+bn-1)+b_nb_n+1
=-

4

3

×[

n-1

4

(

5

3

+

2n-1

3

)]+

1

9

(4n2+8n+3)
=

1

9

(2n2+6n+7)．
故Wn=

- 1 9 (2n2+6n)，n為偶數(shù) 1 9 (2n2+6n+7)，n為奇數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．