Question

20．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{8x-y-4≤0}\\{x+y+1≥0}\\{y-4x≤0}\end{array}\right.$，目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，
（1）求a+4b的值．
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）畫出不等式組表示的平面區(qū)域，找出最優(yōu)解，計算目標函數(shù)的最大值；
（2）由題意，利用基本不等式計算$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：（1）不等式組$\left\{\begin{array}{l}{8x-y-4≤0}\\{x+y+1≥0}\\{y-4x≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域
如圖所示陰影部分，
當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線8x-y-4=0與y=4x的交點B（1，4）時，
目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
即a+4b=2；…（6分）
（2）由題意，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）
=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$；
當且僅當a=2b=$\frac{2}{3}$時等號成立，
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值是$\frac{9}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，也考查了利用基本不等式求最值的應用問題，是中檔題．