Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x²-x，當(dāng)x＞0時，f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）即$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$恒成立，令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-a，
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
②若a＞0，當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-ax-1≥x²-x，
即$a≤\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$恒成立．
令$h（x）=\frac{e^x}{x}-x-\frac{1}{x}+1$（x＞0），則$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）-{x^2}+1}}{x^2}$．
令φ（x）=e^x（x-1）-x²+1（x＞0），則φ'（x）=x（e^x-2）．
當(dāng)x∈（0，ln2）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（ln2，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．
又x＞0且x→0時，φ（x）→0，φ（1）=0，
所以，當(dāng)x∈（0，1）時，φ（x）＜0，即h'（x）＜0，所以h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，φ（x）＞0，即h'（x）＞0，所以h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（1）=e-1，所以a∈（-∞，e-1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．