Question

18．（1）已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，證明：sinx＜x＜tanx；
（2）求證：函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，π）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，求導(dǎo)，即可證明；
（2）直接求導(dǎo)，討論$0＜x＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}≤x＜π$兩種情況（利用第一問結(jié)論）．

解答 證明：（1）當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，
則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1＞0，
故f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．
（2）f（x）=$\frac{sinx}{x}$直接求導(dǎo)，f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$
0＜x＜$\frac{π}{2}$，x＜tanx，∴xcosx＜sinx，∴xcosx-sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)．
$\frac{π}{2}$≤x＜π，xcosx≤0，sinx＞0，∴xcosx-sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈[$\frac{π}{2}$，π）上為減函數(shù)．
綜上所述，函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，π）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．