Question

9．如圖，由O⊙的$\widehat{AB}$的中點C引弦CD、CE，分別與AB相交于F、G．求證：DG•EF=FD•GE+DE•FG．

Answer 1

分析 連接AD，DE，EB，由A，D，E，B四點共圓，可得對角互補，點C是弧AB的中點，可得等弧所對圓周角相等，即可得到四邊形DFEG的對角互補，可得四點D、F、G、E共圓，在EF上取一點K，運用相似三角形的判定可得△FDK∽△GDE，△FDG∽△KDE，再由對應(yīng)邊成比例，即可得到結(jié)論．

解答 證明：連接AD，DE，EB，
由A，D，E，B四點共圓，得∠ADE+∠B=180°，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE，
∴∠ADC+∠CDE+∠B=180°①
∵點C是弧AB的中點，
∴∠ADC=∠BEC  ②
由①②，得∴∠BEC+∠CDE+∠B=180°，
即（∠BEC+∠B）+∠CDE=180°，
∴∠EGA+∠CDE=180°，
則四邊形DFEG內(nèi)接于圓，
即有∠DFE=DGE，∠FGD=∠FED，
在EF上取一點K，使得∠FDK=∠EDG，
∠FDK+∠EDK=∠FDE=∠FDG+∠EDG，
可得∠EDK=∠FDG，
則△FDK∽△GDE，△FDG∽△KDE，
即有$\frac{FK}{FD}$=$\frac{GE}{GD}$，$\frac{EK}{DE}$=$\frac{FG}{DG}$，
即FK•DG=DF•GE，EK•DG=DE•FG，
相加可得，（FK+EK）•DG=DF•GE+DE•FG．
則DG•EF=FD•GE+DE•FG．

點評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，解本題的關(guān)鍵是由所證的結(jié)論觀察出其成立的等價條件：四點D、F、G、E共圓，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于難題．