Question

8．已知各項數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ+1，則該數(shù)列的通項a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前2015項之和為$\frac{7}{3}$+（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法進(jìn)行求解，先求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，結(jié)合部分項成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ+1，
∴當(dāng)n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1+1，
兩式相減得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時，a₁=2¹+1=3，不滿足a_n=2^n-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前2015項之和S=$\frac{1}{3}$+[1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴]=$\frac{1}{3}$+$\frac{1×（1-（\frac{1}{2}）^{2014}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$+2+（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³=$\frac{7}{3}$+（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，$\frac{7}{3}$+（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及前n項和的計算，利用作差法求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．