Question

18．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF₁|-|PF₂|=2，點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為$\frac{4}{5}$，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線的方程為bx±ay=0，設(shè)P（x，y），利用點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為$\frac{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，求出c，利用雙曲線的定義，求出a，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線的方程為bx±ay=0，
設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為$\frac{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵|PF₁|-|PF₂|=2，
∴a=1，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．