Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{\;}^{2}，（x≤0）}\\{\sqrt{2-x{\;}^{2}}，（x＞0）}\end{array}\right.$則${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=（　　）

• A． $\frac{π}{2}$-$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$+$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$+$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，分別根據(jù)定積分的幾何意義和定積分的計算法則計算計算即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x{\;}^{2}，（x≤0）}\\{\sqrt{2-x{\;}^{2}}，（x＞0）}\end{array}\right.$，
∴${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx，
∵${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx表示以原點為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓的面積的四分之一，
∴${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π•2=$\frac{π}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{\sqrt{2}}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx+${∫}_{-1}^{0}$x²dx=$\frac{π}{2}$+$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-1}^{0}$=$\frac{π}{2}$+$\frac{1}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查了定積分的計算和定積分的幾何意義，屬于中檔題．