【題目】如圖1是四棱錐的直觀圖,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為直角三角形,俯視圖外框為矩形,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示.
(1)設(shè)中點為,在直線上找一點,使得平面,并說明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值為,求四棱錐的外接球的表面積.
【答案】(1) 見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)利用中位線定理構(gòu)造平行四邊形,得到;(2) 由二面角的平面角的余弦值為,得到,明確外接球的直徑即為PB,易得四棱錐的外接球的表面積.
試題解析:
(1)當(dāng)是中點時, 平面,
證明如下:取中點,連接、、,
在中, 、分別是、的中點,
∴是的中位線,
∴且,又是中點, ,
∴且,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
又∵平面, 平面,
∴平面.
(2)由三視圖可得平面,
在底面中,過作交于點,連接,
∵平面, 平面,∴,
又, 平面,
平面,∵,∴平面,
又平面,∴,
∴是二面角的平面角,
在底面矩形, , ,∴, ,
在中,又,
∴,∴.
由直觀圖易知四棱錐的外接球的直徑即為,
∴.
故四棱錐的外接球的表面積為.
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【題目】現(xiàn)有一個質(zhì)地均勻的正四面體骰子,每個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4,將這個骰子連續(xù)投擲兩次,朝下一面的數(shù)字分別記為,試計算下列事件的概率:
(1)事件;
(2)事件:函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).
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【題目】如圖,矩形的兩條對角線相交于點, 邊所在直線的方程為,點在邊所在的直線上.
(Ⅰ)求邊所在直線的方程;
(Ⅱ)求矩形外接圓的方程.
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【題目】已知定義為的函數(shù)滿足下列條件:①對任意的實數(shù)都有:
;②當(dāng)時,.
(1)求;
(2)求證:在上為增函數(shù);
(3)若,關(guān)于的不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某單位有、、三個工作點,需要建立一個公共無線網(wǎng)絡(luò)發(fā)射點,使得發(fā)射點到三個工作點的距離相等.已知這三個工作點之間的距離分別為,,.假定、、、四點在同一平面內(nèi).
(Ⅰ)求的大。
(Ⅱ)求點到直線的距離.
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【題目】已知函數(shù)的兩個極值點為,且.
(1)求的值;
(2)若在(其中)上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)當(dāng)時,求證:.
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【題目】已知函數(shù),,其中為實數(shù).
(1)是否存在,使得?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由;
(2)若集合中恰有5個元素,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】《算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)名著.在這部著作中,許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的,“竹筒容米”就是其中一首:家有八節(jié)竹一莖,為因盛米不均平;下頭三節(jié)三生九,上梢三節(jié)貯三升;唯有中間二節(jié)竹,要將米數(shù)次第盛;若是先生能算法,也教算得到天明!大意是:用一根8節(jié)長的竹子盛米,每節(jié)竹筒盛米的容積是不均勻的,下端3節(jié)可盛米3.9升,上端3節(jié)可盛米3升.要按依次盛米容積相差同一數(shù)量的方式盛米,中間兩節(jié)可盛米多少升?由以上條件,計算出這根八節(jié)竹筒的容積為( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
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【題目】某公司有30名男職員和20名女職員,公司進行了一次全員參與的職業(yè)能力測試,現(xiàn)隨機詢問了該公司5名男職員和5名女職員在測試中的成績(滿分為30分),可知這5名男職員的測試成績分別為16,24,18,
22,20,5名女職員的測試成績分別為18,23,23,18,23,則下列說法一定正確的是( )
A. 這種抽樣方法是分層抽樣
B. 這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣
C. 這5名男職員的測試成績的方差大于這5名女職員的測試成績的方差
D. 該測試中公司男職員的測試成績的平均數(shù)小于女職員的測試成績的平均數(shù)
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