Question

13．設(shè)m＞1，在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值為$\frac{5}{2}$．則m的值為3．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值為$\frac{5}{2}$求得m的值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

由z=x+my，得$y=-\frac{x}{m}+\frac{z}{m}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{x}{m}+\frac{z}{m}$過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{1}{m+1}+\frac{{m}^{2}}{m+1}=\frac{{m}^{2}+1}{m+1}$=$\frac{5}{2}$．
解得：m=-$\frac{1}{2}$（舍）或m=3．
故答案為：3．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．