Question

如圖所示，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱長都是底面邊長的

2

倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，O是AC與BD的交點(diǎn)．
（1）求證：SO⊥平面ABCD；
（2）若SD⊥平面PAC，求直線SB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用題中的已知條件，利用線面垂直的判定定理求出結(jié)論．
（2）首先利用三角形的中位線，把線面的夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步利用線段的長求出所構(gòu)成的直角三角形的邊長，最后通過解三角形求得結(jié)果．

解答： 證明：（1）四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱長都是底面邊長的

2

倍，
所以所有的側(cè)棱長都相等．
即：SB=SD=SA=SC，O為底面ABCD的交點(diǎn)
所以：AO=CO，BO=BO
則：SO⊥AC，SO⊥BD
所以：SO⊥平面ABCD
（2）設(shè)底面邊長為x，則側(cè)棱長為

2

x，
利用勾股定理得：DO=

2

2

x，
取SD的中點(diǎn)E，
所以：OE∥SB
且OE=

1

2

SB=

2

2

x，
在Rt△SOD中，SO²+OD²=SD²
解得：SO=

6

2

x，
由于：SD⊥平面PAC
所以：PO⊥SD
利用三角形面積相等：OP•SD=SO•OD
解得：OP=

6

4

x
所以：cos∠EOP=

OE

OP

=

3

2

則：∠EOP=

π

6

由于OE∥SB，所以直線SB與平面PAC所成角即為OE與平面PAC所成角．
直線OE與平面PAC所成角為

π

6

，所以：直線SB與平面PAC所成角為

π

6

．
所以直線SB與平面PAC所成夾角的正弦值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定，勾股定理得應(yīng)用，線面的夾角問題的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題．屬于基礎(chǔ)題型．