Question

2014年2月開始西非爆發(fā)了大規(guī)模的埃博拉病毒（Ebola virus）疫情．到目前為止，該病毒已導(dǎo)致感染病例超過2萬人，死亡近8000人．2014年9月，世衛(wèi)組織（WHO）稱某國科學(xué)家正在研究針對(duì)埃博拉病毒的兩種疫苗（δ-疫苗和σ-疫苗）：用若干個(gè)試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組有4只獼猴，并將獼猴編號(hào)，其中每組①②號(hào)注射δ-疫苗，而③④注射σ-疫苗，然后觀察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中，注射δ-疫苗有效的獼猴的只數(shù)比注射σ-疫苗有效的獼猴的只數(shù)多，就稱該試驗(yàn)組為“控制組”．設(shè)每只獼猴注射δ-疫苗有效的概率為

2

3

，注射σ-疫苗有效的概率為

1

2

．
（I）求一個(gè)試驗(yàn)組的每只獼猴注射疫苗后都有效的概率；
（Ⅱ）若觀察三個(gè)不同的試驗(yàn)組，用ξ表示這三個(gè)試驗(yàn)組中“控制組”的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)事件A表示一個(gè)試驗(yàn)組的每只獼猴注射疫苗后都有效，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出一個(gè)試驗(yàn)組的每只獼猴注射疫苗后都有效的概率．
（Ⅱ）依題意，一個(gè)試驗(yàn)組為“控制組”的情況有3類：注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效；注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效；注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效．從而得到隨機(jī)變量ξ～B（3，

4

9

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示一個(gè)試驗(yàn)組的每只獼猴注射疫苗后都有效，
則P（A）=(

2

3

)2(

1

2

)2=

1

9

．
（Ⅱ）依題意，一個(gè)試驗(yàn)組為“控制組”的情況有3類：
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效，
概率為P1=(

2

3

)2•

C

1 2

(

1

2

)2=

2

9

，
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率為：P₂=（

2

3

）²•（

1

2

）²=

1

9

，
注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率為P₃=

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•(

1

2

)2=

1

9

，
∴一個(gè)試驗(yàn)組為“控制組”的概率為P=P₁+P₂+P₃=

2

9

+

1

9

+

1

9

=

4

9

，
∴隨機(jī)變量ξ～B（3，

4

9

），
P（ξ=0）=

C

0 3

(

5

9

)3=

125

729

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

4

9

)(

5

9

)2=

300

729

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

4

9

)2(

5

9

)=

240

729

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

4

9

)3=

64

729

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	125 729	300 729	240 729	64 729

∵ξ～B（3，

4

9

），∴Eξ=3×

4

9

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．