Question

9．（Ⅰ）已知某橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{14}}}{4}$），求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 已知某橢圓過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{2}$，-1），（-1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出基本量，即可求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，利用待定系數(shù)法求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（Ⅰ）$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{14}{16}}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{14}{16}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{4}+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}=2\sqrt{2}=2a$，
又橢圓焦點(diǎn)為（±1，0），所以b=1，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，則有$2m+n=1，m+\frac{3}{2}n=1$，
解得$m=\frac{1}{4}，n=\frac{1}{2}$，所以橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義、待定系數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．