Question

1．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}$（e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（2）討論關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）+c根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出${f^'}（x）=\frac{{（1-2x）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=（1-2x）{e^{-2x}}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值．
（2）設(shè)$g（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}+c$，h（x）=|lnx|，由${g}^{'}（x）=\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，由此根據(jù)c＞0，c=0，c＜0三種情況進(jìn)行分類討論，能求出關(guān)于x的方程|lnx|=f（x）+c根的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}$，
∴${f^'}（x）=\frac{{（1-2x）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=（1-2x）{e^{-2x}}$，
∴$x∈（-∞，\frac{1}{2}）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2e}$．
（2）設(shè)$g（x）=\frac{x}{{{e^{2x}}}}+c$，
①當(dāng)c＞0時(shí)，令${g^'}（x）=\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}=0⇒x=\frac{1}{2}$，
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{2}）$時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)$x∈（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，g′（x）＜0；
∴g（x）在$x=\frac{1}{2}$處取極大值$g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2e}+c$，
設(shè)h（x）=|lnx|
∵自然對(duì)數(shù)lnx在x＞0上單調(diào)增，0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，x≥1時(shí)，lnx≥0，
∴0＜x＜1時(shí)，h（x）＞0，單調(diào)減，x≥1時(shí)，h（x）≥0，單調(diào)增，
∴h（x）圖象與g（x）圖象必存在二個(gè)交點(diǎn)，即方程|lnx|=g（x）必有二個(gè)根；
②當(dāng)c=0時(shí)，
∵方程|lnx|=g（x），
設(shè)H（x）=|lnx|-g（x），
寫成分段函數(shù)：$H（x）=-lnx-\frac{x}{{{e^{2x}}}}-c$，（0＜x＜1）$H（x）=lnx-\frac{x}{{{e^{2x}}}}-c$，（x≥1）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，${H^'}（x）=-\frac{1}{x}-\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}＜0$，∴h（x）單調(diào)減；$H（\frac{1}{2}）=ln2-\frac{1}{2e}＞0$，$h（1）=-\frac{1}{e^2}＜0$，
∴在區(qū)間$[\frac{1}{2}，1]$一必有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)x≥1時(shí)，${H^'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1-2x}{{{e^{2x}}}}＞0$，∴h（x）單調(diào)增；$H（2）=ln2-\frac{2}{e^4}＞0$，
∴在區(qū)間[1，2]一必有一個(gè)實(shí)根，
∴當(dāng)c=0時(shí)，h（x）必有二個(gè)實(shí)根，即方程|lnx|=g（x）必有二個(gè)根，③
③當(dāng)c＜0時(shí)，
令$g（1）=\frac{1}{e^2}+c=0⇒c=-\frac{1}{e^2}$，
∴$c=-\frac{1}{e^2}$時(shí)，h（x）圖象與g（x）圖象必存在在一個(gè)交點(diǎn)，即方程|lnx|=g（x）必有一個(gè)根，
綜上：當(dāng)$c＞-\frac{1}{e^2}$時(shí)，方程|lnx|=g（x）必有二個(gè)根；
當(dāng)$c=-\frac{1}{e^2}$時(shí)，方程|lnx|=g（x）必有一個(gè)根；
當(dāng)$c＜-\frac{1}{e^2}$時(shí)，方程|lnx|=g（x）無(wú)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最大值的求法，考查方程的根的個(gè)數(shù)的求不地，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．