Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)y=g（x）在x=1處的切線方程；
（2）若方程g（x）=2e^xf（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=5代入求得g（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得g（1）和切線斜率k=g′（1），由直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x）分離變量a，構(gòu)造輔助函數(shù)，求得x∈[$\frac{1}{e}$，e]在的最大和最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=5，g（x）=（-x²+5x-3）e^x，
g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，
∴在x=1處切線的斜率為k=g′（1）=4e．
g（1）=e，…（4分）
所以切線方程為：y-e=4e（x-1），即y-4ex+3e=0．…（6分）
（2）由g（x）=2e^xf（x），x∈[$\frac{1}{e}$，e]可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，…（8分）
令h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，h′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．

x	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）
h′（x）=	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值（最小值）	單調(diào)遞增

…（10分）
h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+3e-2，h（1）=4，h（e）=$\frac{3}{e}$+e+2，
h（e）-h（$\frac{1}{e}$）=4-2e+$\frac{2}{e}$＜0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為4＜a≤$\frac{3}{e}$+e+2．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)求含字母系數(shù)的范圍問題，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．