Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+1-cos2x=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間是$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，則$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1∈[0，3]$，
∴函數(shù)f（x）的值域是[0，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二倍角余弦公式及變形，兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想，化簡、變形能力．