Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，M為PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)N，連接MN，DN，先證明出四邊形DCMN為平行四邊形，進(jìn)而推斷出MC∥DN，根據(jù)線面平行的判定定理證明出MC∥平面PAD．
（Ⅱ）求得AC的長，進(jìn)而利用勾股定理證明BC⊥AC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出PA⊥BC，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PAC．

解答： 證明：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)N，連接MN，DN，
∵M(jìn)，N分別時PB，PA的中點(diǎn)，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB，
∵CD∥AB，CD=1，AB=2，
∴CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴MN∥CD，CD=MN，
∴四邊形DCMN為平行四邊形，
∴MC∥DN，
∵M(jìn)C?平面PAD，DN?平面PAD，
∴MC∥平面PAD．
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB=E，
則四邊形ADCE為矩形，
∴AE=CD=1，
∵AB=2，
∴BE=1，
在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

，
則AC=

AD2+CD2

=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生空間觀察能力和推理能力．