Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=[2a，2b]，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“增值區(qū)間”．給出下列4個函數(shù)：
①f（x）=x²-2x+4；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=e^x-1；
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在“增值區(qū)間”的函數(shù)有

 

 （填出所有滿足條件的函數(shù)序號）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：閱讀型,方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意可得出：存在“增值區(qū)間”的函數(shù)，必須滿足f（x）=2x有2個不等實數(shù)根，即f（x）與g（x）=2x有2個不同的交點，運用圖象判斷即可．

解答： 解：∵于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=[2a，2b]，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“增值區(qū)間”．
∴f（x）=2x，有2個不等實數(shù)根，
①f（x）=x²-2x+4=2x，
x²-4x+4=0，
x=2，b不符合題意，
∴①不是增值區(qū)間函數(shù)，
∵②f（x）=|2^x-1|；與g（x）=2x
∴|2^x-1|=2x有2個不等實根，
f（x）=|2^x-1|；與g（x）=2x有2個不同的交點，
據(jù)圖說明②符合題意，是增值區(qū)間函數(shù)．

③f（x）=e^x-1；
f（x）=e^x-1；與g（x）=2x∴③是增值區(qū)間函數(shù)．

④f（x）=ln（x+1）．與g（x）=2x，

ln（x+1）=2x有2個不等實根，
f（x）=ln（x+1）．與g（x）=2x有2個不同的交點，
∴④是增值區(qū)間函數(shù)．
故答案為：②③④

點評：本題考查了運用方程的解判斷增值區(qū)間函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題求解，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷，屬于數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，關(guān)鍵是理解題意．