Question

對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b，已知y=f（x），x∈（-∞，0）∪（0，+∞），滿足f（ab）=f（a）+f（b）
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）證明y=f（x）是偶函數(shù)；
（3）當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0，若f（2）=1，求f（x）在區(qū)間[8，32]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件中的恒等式，可對(duì)a、b進(jìn)行賦值，令a=b=1，求出f（1）的值，令a=b=-1，求出f（-1）的值；
（2）根據(jù)f（-1）=0，令b=-1，可得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)奇偶性的定義可進(jìn)行判定．
（3）先證明f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）在區(qū)間[8，32]上：f（8）≤f（x）≤f（32）．

解答： 解：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令a=b=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
綜上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）∵f（ab）=f（a）+f（b），∴f（xy）=f（x）+f（y），
令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒為0，
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0，
則f（x₂）=f（

x2

x1

x1）=f(

x2

x1

)+f（x₁）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f（x）在區(qū)間[8，32]上：f（8）≤f（x）≤f（32）
∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，f（8）=f（2×4）=f（2）+2f（2）=3f（2）=3，
f（32）=f（32）=f（4×8）=f（4）+f（8）=2+3=5，
值域?yàn)閇3，5]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，對(duì)于抽象函數(shù)問(wèn)題，賦值法是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．