Question

已知(

x

-

2

x2

)n的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（3）求展開式中含有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，即為2ⁿ=1024，解得即可；
（2）求出通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理，再令x的指數(shù)為0，即可得到常數(shù)項(xiàng)；
（3）考慮通項(xiàng)公式中，x的指數(shù)為偶數(shù)的情況，即可得到個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024，
即為2ⁿ=1024，解得，n=10；
（2）(

x

-

2

x2

)n的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=

C

r 10

(

x

)10-r(

-2

x2

)r
=

C

r 10

(-2)rx

10-5r

2

，
令

10-5r

2

=0，則r=2，
則常數(shù)項(xiàng)為：

C

2 10

(-2)2=180；
（3）有理項(xiàng)即為

10-5r

2

為整數(shù)，
則r=0，2，4，6，8，10．
故有6個(gè)有理項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理及運(yùn)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．