Question

已知F（X）是奇函數(shù)，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，f（x）=8^x．
（1）求f（-

1

3

），f（

2

3

），f（

5

3

）的值；
（2）當(dāng)2k+

1

2

＜x＜2k+1，（k∈Z）時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）是否存在k∈N^*，使2k+

1

2

＜x＜2k+1時(shí)，不等式log₈f（x）＞x²-（k+3）x-k+2有解？若存在，求出k的值及對(duì)應(yīng)的不等式的解；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）是奇函數(shù)，f（x+1）=-

1

f(x)

，求出函數(shù)的周期，通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)化求解f（-

1

3

），f（

2

3

），f（

5

3

）的值．
（2）通過(guò)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性，求出x∈(

1

2

，1)時(shí)，函數(shù)的解析式，即可求解x∈(2k+

1

2

，2k+1)時(shí)，的解析式．
（3）利用（2）函數(shù)的解析式f（x）=8^x-2k-1，轉(zhuǎn)化不等式log₈f（x）＞x²-（k+3）x-k+2為x-2k-1＞x²-（k+3）x-k+2，推出x²-（k+4）x+k+3＜0，求出x 的范圍，驗(yàn)證①當(dāng)k=1時(shí)，

5

2

＜x＜3；②當(dāng)k=2時(shí)，

9

2

＜x＜5；③當(dāng)k＞2時(shí)，不等式無(wú)解．

解答： 解：（1）f（x）是奇函數(shù)，且有f（x+1）=-

1

f(x)

，
f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
所以函數(shù)的周期為2，
當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，f（x）=8^x．
f（-

1

3

）=-f（

1

3

）=-8

1

3

=-2；
f（

2

3

）=-

1

f(- 1 3 )

=-

1

-2

=2；
f（

5

3

）=f（2-

1

3

）=f（-

1

3

）=-2；       …（4分）
（2）由f（x+1）=-

1

f(x)

，f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
所以f（x）是以2為周期的奇函數(shù)．…6分
現(xiàn)考慮x∈(

1

2

，1)時(shí)，f（x）=-f（-x）=-（-

1

f(-x+1)

）=

1

f(1-x)

=8^x-1，…（8分）
則：x∈(2k+

1

2

，2k+1)時(shí)，f（x）=f（x-2k）=8^x-2k-1        …（10分）
（3）∵2k+

1

2

＜x＜2k+1，∴f（x）=8^x-2k-1，
代入得：x-2k-1＞x²-（k+3）x-k+2，
⇒x²-（k+4）x+k+3＜0
⇒1＜x＜k+3，驗(yàn)算可知：…（13分）
①當(dāng)k=1時(shí)，

5

2

＜x＜3；
②當(dāng)k=2時(shí)，

9

2

＜x＜5；
③當(dāng)k＞2時(shí)，不等式無(wú)解；…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．