Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ………………2分

xf′（x）=xlnx+1，

題設(shè)xf′（x）≤x2+ax+1等價(jià)于lnx-x≤a，

令g（x）=lnx-x，則g’（x）=。 ………………4分

當(dāng)0<x<1時(shí)，g’（x）>0；當(dāng)x≥1時(shí)，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值點(diǎn)，

g（x）≤g（1）=-1。 ………………6分

綜上，a的取值范圍是[-1,+∞）。 ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；

當(dāng)0<x<1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；………10分

當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）

=lnx+x（lnx+-1）≥0

所以（x-1）f（x）≥0

【解析】

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求解不等式，或者參數(shù)范圍的運(yùn)用。

解：（Ⅰ），

,

題設(shè)等價(jià)于.

令，則

當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，是的最大值點(diǎn)，

綜上，的取值范圍是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

所以