Question

已知平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分別是DE、AB的中點(diǎn)，主（正）視圖方向垂直平面ABCD時(shí)，左（側(cè)）視圖的面積為

2

．
（1）求證：MH∥平面BCE；
（2）求證：平面ADE⊥平面BCE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對(duì)于第（1）問(wèn)，思路1（由線(xiàn)線(xiàn)平行得線(xiàn)面平行）：取CE的中點(diǎn)N，連接BN，只需證MH∥BN即可；思路2（由面面平行得線(xiàn)面平行）：取AE的中點(diǎn)P，連接MP、HP，只需證明平面MPH∥平面BCE即可．
對(duì)于第（2）問(wèn)，要證明面面垂直，由面面垂直的判定定理，可先證明平面BCE內(nèi)的直線(xiàn)BE⊥平面ADE，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證BE⊥AE，BE⊥AD，根據(jù)已知條件及數(shù)據(jù)，設(shè)法探求BE與AE，及BE與AD的垂直關(guān)系即可證明．

解答： 證明：（1）方法一：取CE的中點(diǎn)N，連接BN，如圖1所示．
∵△CDE中，M、N分別是DE、CE的中點(diǎn)，∴MN∥CD且MN=

1

2

CD．
在矩形ABCD中，∵H是AB的中點(diǎn)，∴BH∥CD且BH=

1

2

CD，
∴MN∥BH且MN=BH，從而四邊形BHMN為平行四邊形，∴MH∥BN．
又∵M(jìn)H?平面BCE，BN?平面BCE，∴MH∥平面BCE．
方法二：取AE的中點(diǎn)P，連接MP、HP，
在△ABE中，∵P、H分別是AE、AB的中點(diǎn)，∴HP∥BE，
∵HP?平面BCE，BE?平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，
又∵M(jìn)P∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，
∵M(jìn)H?平面MPH，∴MH∥平面BCE．
（2）取CD中點(diǎn)F，連接EH、EF、FH，如圖2所示，則在矩形ABCD中，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)H=AD=2．
在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，
∴Rt△EFH的面積等于幾何體E-ABCD左（側(cè)）視圖的面積，
得

1

2

EH×FH=

1

2

EH×2=

2

，即EH=

2

，
∴在ABE中，有AH²+EH²=BH²+EH²=AE²=DE²=2²，得AH=BH=

2

，從而AB=2

2

．
由AE²+BE²=AB²=8知，AE⊥BE．
∵平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，
又∵BE?平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了幾何的三視圖，線(xiàn)面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等，考查知識(shí)點(diǎn)較多，且綜合性強(qiáng)，利用已知數(shù)據(jù)及線(xiàn)、面位置關(guān)系進(jìn)行合理地推理是關(guān)鍵．
2．事實(shí)上，第（1）問(wèn)還可以連結(jié)FM，要證MH∥平面BCE，只需證平面MFH∥平面BCE，由FH∥BC及MF∥CE得證；第（2）問(wèn)也可以利用向量法：以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)HE為x軸，射線(xiàn)HB為y軸，射線(xiàn)HF為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別找到平面ADE與平面BCE的法向量，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)法向量互相垂直，只需通過(guò)計(jì)算得出其數(shù)量積為零即可．