Question

13．已知點P是圓（x-1）²+y²=8上的動點，且點P不在x軸上，F₁、F₂為圓與x軸的兩個交點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上一點，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{MP}$=0，又F₁M的延長線與直線PF₂交于點Q，N為PQ的中點，則|$\overrightarrow{MN}$|的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2$\sqrt{2}$）
• B． （0，4$\sqrt{2}$）
• C． （0，4）
• D． （2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運用等腰三角形的三線合一和中位線定理，可得M為中點，|MN|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，由圓的性質可得|MN|的范圍．

解答 解：圓（x-1）²+y²=8的圓心為（1，0），半徑為2$\sqrt{2}$，
令y=0，可得x=1±2$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{MP}$=0，可得MP⊥F₁M，又MP為∠F₁PF₂的角平分線，
即有|PF₁|=|PQ|，M為F₁Q的中點，
又N為PQ的中點，可得|MN|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，
顯然|PF₁|∈（0，4$\sqrt{2}$），即有|MN|∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故選：A．

點評 本題考查圓的方程和運用，考查平面幾何的三線合一和中位線定理的運用，注意數形結合的思想方法，屬于中檔題．