Question

5．已知函數(shù)f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)P（3，9）點(diǎn)，求a的值；
（2）比較$f（lg\frac{1}{100}）與f（-1.9）$的大小，并寫出比較過(guò)程；
（3）若f（lna）=e²，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)代入求解，（2）化為f（-2），f（-1.9），討論利用函數(shù)單調(diào)性求解判斷，（3）a^lna-1=e²，兩邊取對(duì)數(shù)化為lna•（lgn-1）=2求解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1），函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，9），
∴a²=9，a=3，
（2）f（lg$\frac{1}{100}$）=f（-2），
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=a^x-1，單調(diào)遞增，
∴f（-2）＜f（-1.9），
當(dāng)0＜a＜1，f（x）=a^x-1，單調(diào)遞減，
f（-2）＞f（-1.9）
所以，當(dāng)a＞1時(shí)，f（lg$\frac{1}{100}$）＜f（-1.9），
當(dāng)0＜a＜1，f（lg$\frac{1}{100}$）＞f（-1.9）．
（3）f（lna）=e²，
∴a^lna-1=e²，
∴l(xiāng)na•（lna-1）=2，
即lna=2，或lna=-1，
a=e²或a=$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于容易題