Question

1．已知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x＜1}\\{{e^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，e）．

Answer 1

分析 畫出分段函數(shù)與y=kx的圖象，利用方程f（x）=kx有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，判斷看的范圍即可．

解答 解：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x＜1}\\{{e^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
就是分段函數(shù)與y=kx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖：

顯然k小于OA的斜率時(shí)滿足題意，y=e^x，x≥1，導(dǎo)函數(shù)為y′=e^x，是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得最小值，此時(shí)OA的斜率最小，最小值為：e，可得k＜e．
故答案為：（-∞，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力．