Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦點到漸近線的距離為2，且雙曲線的一條漸近線與直線x-2y+3=0平行，則雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 設(shè)右焦點為（ c，0 ），一條漸近線為x-2y=0，根據(jù)點到直線的距離公式$\frac{c}{\sqrt{5}}$=2，可得c=2$\sqrt{5}$，再根據(jù)c²=a²+b²，求出a，b，即可求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)右焦點為（ c，0 ），一條漸近線為x-2y=0，
根據(jù)點到直線的距離公式$\frac{c}{\sqrt{5}}$=2，可得c=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，解得b=2，a=4，
所以雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．