Question

如圖，正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求證：AB⊥平面ADE；
（2）求E到正方形ABCD所在平面的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AE⊥平面CDE，得AE⊥CD，結(jié)合AD⊥CD得CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，可得AB⊥平面ADE；
（2）過E作EO⊥AD于O，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得EO⊥平面ABCD，OE長即為E到正方形ABCD所在平面的距離．結(jié)合已知數(shù)據(jù)在Rt△ADE中，求出斜邊AD上的高，即得OE的長．

解答：解：（1）∵AE⊥平面CDE，CD⊆平面CDE，∴AE⊥CD，
又∵ABCD為正方形，∴AD⊥CD，
∵AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
又∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）由（1）得，AB⊥平面ADE，
又∵AB⊆平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
過E作EO⊥AD于O，則EO⊥平面ABCD．
在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，可得DE=3

3

，
∴EO=

AE•ED

AD

=

3×3 3

6

=

3 3

2

．
即點E到正方形ABCD所在平面的距離為

3 3

2

．…（12分）

點評：本題給出直角三角形與正方形所在平面互相垂直，求證線面垂直并且求點到平面的距離，著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，直角三角形中求斜邊上的高等知識，屬于中檔題．