Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=2，b₁=3，a₃+b₅=56，a₅+b₃=26．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），利用a₃+b₅=56，a₅+b₃=26，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過a_n=3n-1及分離分母可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+5}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），
∵a₁=2，b₁=3，
∴a₃=2+2d，a₅=2+4d，b₃=3q²，b₅=3q⁴，
又∵a₃+b₅=56，a₅+b₃=26，
∴2+2d+3q⁴=56，2+4d+3q²=26，
解得：d=3，q=2，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，b_n=3•2^n-1；
（2）∵a_n=3n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+5）}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+5}$），
并項(xiàng)相加得：T_n=$\frac{1}{6}$（$\frac{7}{10}$-$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{1}{3n+5}$）．

點(diǎn)評 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．