Question

1．已知矩形ABCD，AB=2AD=2a（a＞0），連接四條邊的中點成一個新的四邊形，記其面積為b₁；然后在得到的四邊形中，再連接四條邊的中點又成一個新的四邊形，如圖，記其面積為b₂；按此方法依次做下去…
（1）求b₁和b₂；
（2）記b_n為第n次（n∈N^*）得到的四邊形的面積，寫出b_n關(guān)于n的表達(dá)式（不必證明）．
（3）求經(jīng)過n次（n∈N^*）后所得n個四邊形的面積之和．

Answer 1

分析 （1）由圖形直接可寫出b₁和b₂；
（2）由圖可知新正方形的面積是上一個正方形面積的一半，故可得到答案；
（3）由題意，利用等比數(shù)列前n項和公式求S

解答 解：（1）矩形ABCD，AB=2AD=2a，則矩形的面積為2a²，
則連接四條邊的中點成一個新的四邊形的面積均為上一個的一半，
則b₁=$\frac{1}{2}$•2a²=a²，b₂=$\frac{1}{2}$a²，
（2）記b_n為第n次（n∈N^*）
得到的四邊形的面積，
則b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a²，
（3）S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$•a²=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a²，

點評 本題考查了學(xué)生的想象力及等比數(shù)列的通項及前n項和公式應(yīng)用，屬于中檔題．