Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求$f（{\frac{π}{6}}）$的值；
（2）若$sinα=\frac{3}{5}$，且$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，求$f（{\frac{α}{2}+\frac{π}{24}}）$．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，代入$\frac{π}{6}$求解即可．
（2）利用函數(shù)的解析式化簡所求的表達式，通過兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關系式求解即可．

解答 解：$f（x）={cos^2}x+sinxcosx=\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（{sin2x+cos2x}）$=$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$．
（1）$f（{\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（{sin\frac{π}{3}+cos\frac{π}{3}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．
（2）$f（{\frac{a}{2}+\frac{π}{24}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{α+\frac{π}{12}+\frac{π}{4}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{α+\frac{π}{3}}）$=$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{sinα•\frac{1}{2}+cosα•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∵$sinα=\frac{3}{5}$，且$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$cosα=-\frac{4}{5}$，
∴$f（{\frac{α}{2}+\frac{π}{24}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{\frac{3}{5}×\frac{1}{2}-\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）=\frac{{10+3\sqrt{2}-4\sqrt{6}}}{20}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)同角三角函數(shù)基本關系式的應用，二倍角公式的應用，考查計算能力．