Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，則有：①函數(shù)f（x）的周期為2；②函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，3）上是增函數(shù)；③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0，其中所有正確命題的序號(hào)是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①由于對(duì)任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），即可得出函數(shù)f（x）的周期；
②由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，可得x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=f（-x）=2^-x=$（\frac{1}{2}）^{x}$，再根據(jù)①即可判斷出單調(diào)性；
③由②可得：函數(shù)f（x）的最大值是2，最小值是1，即可判斷出正誤．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，則有：
①∵對(duì)任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），因此函數(shù)f（x）的周期為2，正確；
②∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x，則x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=f（-x）=2^-x=$（\frac{1}{2}）^{x}$，再根據(jù)①可得：此函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，3）上是增函數(shù)，正確；
③由②可得：函數(shù)f（x）的最大值是2，最小值是1，因此不正確．
其中所有正確命題的序號(hào)是①②．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的周期性、奇偶性單調(diào)性，考查了推理能力與幾十年令，屬于中檔題．