Question

1．設(shè)a∈R，已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x∈[1，3]，有f（x）+f′（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當a=1時，f（x）=x³-3x²，求出函數(shù)的導數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）題目轉(zhuǎn)化為$a≤\frac{{3{x^2}+6x}}{{{x^3}+3{x^2}}}=\frac{3x+6}{{{x^2}+3x}}$對x∈[1，3]恒成立．構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 （共13分）
解：（I）當a=1時，f（x）=x³-3x²，
則f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．（6分）
（II）依題意，對?x∈[1，3]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
這等價于，不等式$a≤\frac{{3{x^2}+6x}}{{{x^3}+3{x^2}}}=\frac{3x+6}{{{x^2}+3x}}$對x∈[1，3]恒成立．
令$h（x）=\frac{3x+6}{{{x^2}+3x}}（{x∈[{1，\;\;3}]}）$，
則$h′（x）=\frac{{3（{{x^2}+4x+6}）}}{{{{（{{x^2}+3x}）}^2}}}=-\frac{{3[{{{（{x+2}）}^2}+2}]}}{{{{（{{x^2}+3x}）}^2}}}＜0$，
所以h（x）在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)，
所以h（x）的最小值為$h（3）=\frac{5}{6}$．
所以$a≤\frac{5}{6}$，即實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，\;\;\frac{5}{6}]$．（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．