Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(diǎn)（4，-

10

）．
（1）求雙曲線方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在此雙曲線上，求

MF1

•

MF2

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，λ≠0，由雙曲線過點(diǎn)（4，-

10

），能求出雙曲線方程．
（2）由點(diǎn)M（3，m）在此雙曲線上，得m=±

3

．由此能求出

MF1

•

MF2

的值．

解答： 解：（1）∵雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，
∴設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ，λ≠0，
∵雙曲線過點(diǎn)（4，-

10

），
∴16-10=λ，即λ=6，
∴雙曲線方程為

x2

6

-

y2

6

=1．
（2）∵點(diǎn)M（3，m）在此雙曲線上，
∴

9

6

-

m2

6

=1，
解得m=±

3

．
∴M（3，

3

），或M（3，-

3

），
∵F₁（-2

3

，0），F2(2

3

，0)，
∴當(dāng)M（3，

3

）時(shí)，

MF1

=（-2

3

-3，-

3

），

MF2

=（2

3

-3，-

3

），

MF1

•

MF2

=9-8+3=4；
當(dāng)M（3，-

3

）時(shí)，

MF1

=（-2

3

-3，

3

），

MF2

=（2

3

-3，

3

），

MF1

•

MF2

=9-8+3=4．
故

MF1

•

MF2

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．