Question

13．已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（-2，$\frac{1}{4}$）：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并畫出圖象；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設出冪函數(shù)f（x）的解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

解答 解：（1）設冪函數(shù)f（x）=x^a，圖象經(jīng)過點（-2，$\frac{1}{4}$），
則有$\frac{1}{4}={（-2）^a}$，
即（-2）^-2=（-2）^a，解得a=-2；
∴$f（x）={x^{-2}}=\frac{1}{x^2}$；
（2）證明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2-x_1^2}{x_2^2x_1^2}=\frac{{（{x_2}+{x_1}）（{x_2}-{x_1}）}}{{{{（{x_1}{x_2}）}^2}}}$；
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評 本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎題目．