Question

17．設二次函數(shù)f（x）=ax²-（b-5）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集是（-4，2）．
（1）求f（x）；
（2）當函數(shù)f（x）的定義域是[t，t+2]時，求函數(shù)f（x）的最大值g（t）．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)f（x）=ax²-（b-5）x-a-ab＞0的解集是（-4，2），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，及韋達定理，可得a，b的值，進而得到函數(shù)的解析式；
（2）分析給定區(qū)間[t，t+2]與函數(shù)對稱軸的關系，進而分析函數(shù)在定區(qū)間上的單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²-（b-5）x-a-ab＞0的解集是（-4，2）．
∴a＜0，且$\frac{b-5}{a}$=-2，$\frac{-a-ab}{a}$=-8，
解得：a=-1，b=7，
∴f（x）=-x²-2x+8；
（2）∵f（x）=-x²-2x+8的圖象是開口朝下，且以直線x=-1為對稱軸的拋物線，
當t+2≤-1，即t≤-3時，f（x）在[t，t+2]上為增函數(shù)，
此時g（t）=f（t+2）=-t²-6t；
當t＜-1＜t+2，即-3＜t＜-1時，f（x）在[t，-1]上為增函數(shù)，在[-1，t+2]上為減函數(shù)，
此時g（t）=f（-1）=9；
當t≥-1時，f（x）在[t，t+2]上為減函數(shù)，
此時g（t）=f（t）=-t²-2t+8；
綜上所述：f（t）=$\left\{\begin{array}{l}-{t}^{2}-6t，t≤-3\\ 9，-3＜t＜-1\\-{t}^{2}-2t+8，t≥-1\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．