Question

設(shè)向量，定義一種向量積．

已知向量，，點(diǎn)為的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 為的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）請(qǐng)用表示；

（2）求的表達(dá)式并求它的周期；

（3）把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).

【解析】

試題分析：解題思路：（1)利用定義的運(yùn)算用表示即可；（2）根據(jù)圖像變換得到的解析式，(3)得出的單調(diào)區(qū)間，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.規(guī)律總結(jié)：（1）對(duì)于新定義題目，要真正理解定義，想法與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系，是解決新定義題目的關(guān)鍵；（2）討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即討論圖像與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)..

試題解析：（1），

（2），

，即，

 

所以，它的周期為.

(3)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).

考點(diǎn)：新定義型題、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn).