Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與y軸垂直，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=e^x（ax²-2x+2ax-2-2）=e^x（ax-2）（x+2），從而令f′（2）=e²（2a-2）（2+2）=0解得；
（2）由（1）知，f′（x）=e^x（ax-2）（x+2），x∈（0，2]；從而可得f（x）的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²-2x+2ax-2-2）=e^x（ax-2）（x+2），
∴f′（2）=e²（2a-2）（2+2）=0，
∴a=1；
（2）f′（x）=e^x（ax-2）（x+2），x∈（0，2]；
∵a＞0，
∴當(dāng)x∈（

2

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，

2

a

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
故當(dāng)

2

a

≥2，即0＜a≤1時(shí)，f_min（x）=f（2）=e²（4a-6）；
當(dāng)0＜

2

a

＜2，即a＞1時(shí)，f_min（x）=f（

2

a

）=-2e

2

a

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．