Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA=2．
（1）P、C、D、M四點是否在同一平面內(nèi)，為什么？
（2）求證：面PBD⊥面PAC；
（3）求直線BD和平面PMD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）P、C、D、M四點不在同一平面內(nèi)．假設(shè)P、C、D、M四點在同一平面內(nèi)，則DC∥面ABPM，從而AB∥MP，這顯然不成立．假設(shè)不成立，即P、C、D、M四點不在同一平面內(nèi)．
（2）由已知得PB⊥平面ABCD，PB⊥AC，AC⊥面PBD，由此能證明面PBD⊥面PAC．
（3）分別以BA，BC，BP為x，y，z軸B為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BD和平面PMD所成的角的正弦值．

解答： （1）解：P、C、D、M四點不在同一平面內(nèi)，
理由如下：
假設(shè)P、C、D、M四點在同一平面內(nèi)，
∵DC∥AB，∴DC∥面ABPM，
∵面DCPM∩面ABPM=PM，
∴DC∥PM，又PC∥AB，∴AB∥MP，這顯然不成立．
∴假設(shè)不成立，即P、C、D、M四點不在同一平面內(nèi)．（4分）
（2）證明：∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AC，
又由AC⊥BD，∴AC⊥面PBD，
∴AC?面PAC，∴面PBD⊥面PAC．（8分）
（3）解：如圖，分別以BA，BC，BP為x，y，z軸B為原點，
建立空間直角坐標系．
則D（2，2，0），P（0，0，2），M（2，0，1）

BD

=(2，2，0)，

PM

=(2，0，-1)，

PD

=(2，2，-2)，
設(shè)面PMD的法向量

n

=（x，y，z），則

2x-z=0 2x+2y-2z=0

，
令x=1，得

n

=（1，1，2），
cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n |•| BD |

=

3

3

，
直線BD和平面PMD所成的角與＜

n

，

BD

＞互余，
所以直線BD和平面PMD所成的角的正弦值為

3

3

．

點評：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．